8.4 Attrazione gravitazionale e caduta dei proiettili

Supponiamo di sparare, con una pistola ad aria compressa di libera vendita tarata attorno al limite di legge di 7,5 joule, usando pellet di tipo wadcutter, tenendo la canna perfettamente orizzontale, quindi parallela al terreno, e alla distanza regolamentare di 10 metri tra la volata ed il bersaglio.

Tralasciamo tutti gli accorgimenti di azzeramento e di holdover, e immaginiamo che la linea di mira coincida perfettamente con la linea di canna.

• azzeramento: "Zero range is the distance from the muzzle to where a straight line following the axis of your scope crosses the flight path of the bullet". Oppure: "The airgun zero range is the distance at which the point of aim and the point of impact of the pellet coincide" ===> non lo consideriamo
• holdover: "Airgun holdover refers to the technique of compensating for the trajectory of the pellet at different distances when shooting with an airgun. As pellets lose velocity and drop over distance, you may need to aim higher or lower to hit the target accurately" ===> non lo consideriamo

Il nostro scopo è ovviamente centrare il bersaglio. Quello che ci chiediamo è: dobbiamo preoccuparci davvero della forza di gravità? Di quanto potrebbe abbassarsi il proiettile rispetto al punto di intersezione tra il piano del bersaglio e la retta di prolungamento passante dal centro della canna e parallela al terreno?

Una risposta semplice si può avere tralasciando qualsiasi effetto di portanza sul proiettile, e qualsiasi effetto di attrito con l'aria. (Le due cose sono collegate). E' inteso che quella che otterremo sarà sì una risposta semplice, però approssimata.

Notiamo di sfuggita che lavorare sotto queste ipotesi non vuol dire trascurare completamente l'atmosfera, e quindi la sua pressione. La stessa arma, caricata allo stesso modo, imprimerebbe una velocità diversa al proiettile se si spara nell'atmosfera o nel vuoto, perché ciò che agisce sul proiettile è la pressione differenziale, non la pressione assoluta.

In queste condizioni il moto del proiettile segue una traiettoria parabolica, che può essere scomposta in una componente orizzontale di moto uniforme sx, lungo cui la velocità rimane costante e pari alla velocità iniziale del proiettile, ed una componente verticale di moto uniformemente accelerato sy, lungo cui la velocità iniziale è nulla e l'accelerazione è pari a g=9,81 m/s2. Le equazioni che regolano il moto dunque sono:

dove "T" è l'energia cinetica del proiettile alla volata, per il quale un valore plausibile potrebbe essere, trattandosi di armi di libera vendita, 7.1 joule; ed "m" è la massa del proiettile, che per un pellet in piombo cal. 0.177 pollici (cioè 4,5 mm) potrebbe essere 7 gr (7 grani, cioè 0,45 grammi). Sostituendo i valori numerici abbiano una stima della velocità iniziale del proiettile, del tempo di volo, e dello spostamento lungo l'asse verticale dovuto alla forza di gravità:

La caduta verticale, rispetto alla linea orizzontale di tiro, può quindi essere di una quindicina di millimetri. Non è poco, se si considera che il centro del bersaglio, cioè il 10, nella specialità olimpica P10 è di 11,5 mm.

La risposta alla domanda iniziale quindi sarebbe negativa: non si può trascurare l'effetto dell'attrazione gravitazionale. Bisogna tenerne conto.

Un modo ovvio per ottenere un tiro più "teso", cioè più rettilineo e meno parabolico, e quindi con una caduta verticale minore, sarebbe quello di aumentare la velocità del proiettile. Però questa non è una strada percorribile: raddoppiare la velocità comporterebbe quadruplicare l'energia cinetica del proiettile, e ci scontreremmo con il limite di legge dei 7,5 joule.

Rimane il problema dell'aria, il cui attrito col proiettile abbiamo trascurato. L'effetto dell'aria peggiora o migliora le cose? 

Le peggiora decisamente. Intuitivamente, senza bisogno di fare calcoli, quello che succede è che l'attrito con l'aria frena gradatamente il proiettile. La velocità orizzontale del proiettile diminuisce gradatamente, non è più costante; la velocità verticale aumenta, ma leggermente meno di quanto previsto; la traiettoria non è più perfettamente parabolica. Dal nostro punto di vista, il tempo di volo aumenta; quindi la gravità ha più tempo per agire, e come visto sopra l'effetto sulla caduta è quadratico e non lineare rispetto al tempo; e perciò la caduta, rispetto al centro del bersaglio, sarà ancora maggiore dei 16 mm calcolati sopra. A maggior ragione la risposta alla domanda iniziale è che bisogna tener conto dell'attrazione gravitazionale, cioè ai fini sportivi non si tratta di un dettaglio trascurabile.

Se poi, per conferma, si vogliono fare lo stesso un po' di calcoli, il risultato qualitativo appena trovato è confermato. Le equazioni che regolano il moto del proiettile, però, non sono più le semplici equazioni scritte sopra.  La forza di attrito tra un corpo (qui: il proiettile) e un fluido viscoso (qui: l'aria) non ha una forma univoca, e dipende piuttosto dalla velocità relativa. In prima approssimazione la forza è proporzionale alla velocità se la velocità è "bassa" (!), ed al quadrato della velocità se è "alta". Inoltre dipende dalla forma geometrica del corpo, che a sua volta influisce sulla formazioni di vortici lungo il moto. E' uso affidarsi al numero di Reynolds per decidere tra i due regimi di movimento, ma il numero di Reynolds è uno spartiacque poco affidabile nella pratica, è più che altro un indicatore basato sull'analisi dimensionale, e comunque il suo uso è empirico, più che analitico. Inoltre, ancora, al superamento della velocità del suono si formano delle onde d'urto ("shock waves", di forma conica) che rendono difficile la descrizione analitica delle forze in gioco.

Tutto questo per dire che nelle equazioni bisogna inserire dall'esterno un modello dell'attrito, ed i modelli possibili sono diversi; ci sarà quindi un'incertezza sui risultati legata alla maggiore o minore applicabilità del modello scelto. Ovviamente in balistica sono stati sviluppati molti modelli del genere, alcuni anche molto accurati, ed adattabili al singolo proiettile commerciale ed alla singola arma. Le equazioni però, a quel punto, devono per forza essere risolte in via numerica (cioè a dire: al computer).

Su internet sono disponibili diversi programmi per fare questi calcoli, cioè per fare le simulazioni di tiro. Possiamo provarne uno qualsiasi, per avere conferma di quanto (e se) si modificano le conclusioni sopra ottenute, nel caso che si voglia raffinare il nostro modello prendendo in considerazione gli effetti dell'aria. Per farlo bisogna però dire al programma di simulazione quali modelli usare. Lo si fa specificando dei parametri predefiniti. Scegliamo ad esempio:

• calibro: 0.177 in, cioè 4,5 mm
• drag function: G1 (modello accettabile per proiettili generici, non adattato ai wadcutter)
• Coefficiente balistico: 0,04 espresso in libbre su pollice quadrato (un range indicativo per le armi ad aria compressa è 0,020-0,040) vedi pagina dedicata
• peso del pellet: 7 grani, cioè 0,45 grammi
• velocità alla volata: 178 m/s (circa 584 fps)
• zero range: 0, accoppiato a sight heigth: 0, e a shooting angle: 0°
• distanza dal bersaglio: 10 m
• temperatura: 15 °C
• pressione atmosferica: 1 atm
• umidità relativa: 90%
• velocità del vento: 10 m/s (brezza tesa, nella scala di Beaufort)
• direzione del vento: 0°

In queste condizioni la simulazione numerica prevede uno scarto verticale di circa 16 mm a 10 metri, ed una velocità all'impatto sul bersaglio di 171 m/s. Questo conferma sostanzialmente i risultati ottenuti col semplice modello in assenza di attrito.

Lo scarto verticale arriva però a 10.2 cm se il tiro è fatto a 25 metri (ed a questa distanza la velocità all'impatto cade a circa 162 m/s). A questa distanza il modello senza attrito prevederebbe uno scarto verticale di 9.7 cm; la differenza tra i due modelli comincia quindi a farsi sentire.

Va notato che se si usano wadcutter le cose peggiorano ulteriormente; è del resto ben noto che la traiettoria dei wadcutter diventa instabile oltre una certa distanza di tiro, e che questi proiettili sono molto sensibili al vento; 25 metri sarebbero già oltre il limite normalmente consigliato. 

In tutti i casi l'effetto della gravità non è trascurabile ai fini del tiro sportivo. Per questo si usano accorgimenti di zeroing o di holdover. Nel tiro a fuoco le velocità sono maggiori che per l'aria compressa (qui considerata fino ai 7,5 joule), però le distanze sono anch'esse maggiori; i due fattori competono, ma un qualche aggiustamento del dispositivo di mira o del punto di mira è comunque necessario, soprattutto per il tiro a lunga distanza.